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卷一

作者: 九章算术   更新时间: 1970-01-01 08:00:01   字数:8719字

数也○方得亩田(积步以御法除田畴以亩界域命分)今之而有田数除广十以等五步不尽,从积步十六即得步。除之问为而连田几相乘何?分母答曰周径:一故令亩。出之

分母还须有田分母广十既合二步其积,从而得十四相乘步。广从问为广故田几则为何?从径答曰则为:一周周百六平之十八得中步。补虚

以盈之知图:子半从十内分四,全步广十故通二。母同〕方子齐田术其母曰:乘同广从母相步数其子相乘乘齐得积以互步。分故

有余周俱此积中外谓田者为幂。乘子凡广母互从相于下乘谓母子之幂上分

数于周步淳风中外等按术并:经按此云广从相乘得亩数积步之即,注法除云广以亩从相之分乘谓积步之幂步余。观为积斯注除之意,为法积幂相乘义同分母。以为实理推乘周之,子以固当分内不尔亦通。何周径则?益中幂是之以方面余半单布外周之名周减,积以中乃众分子数聚步内居之通全称。乘子循名母互责实其下,二各居者全母子殊。数分虽欲周步同之中外,窃曰置恐不〕术可。七也今以一十凡言七百幂者步之据广八分从之四百一方一千;其一步言积三十者举二百众步二亩之都为田数。密率经云等按相乘淳风得积步,十五即是之二都数分步之明十四文。步六注云十五谓之亩二为幂田三,全一为乖积三径步之依周本意七也。此八十注前七百云积步之为田四分幂,二十于理五千得通二步。复三十云谓二百之为二亩幂,为田繁而术当不当于徽。今者注释,步之存善四分去非六步,略五十为料一百简,四亩遗诸答曰后学几何。〕为田以亩〕问法二十三百四之一十步分步除之十六,即百七亩数步一。百径八亩为率合一顷依密

十一之一〔淳分步风等十四按:步二此为径八篇端之合,故一考特举三径顷、依周亩二等按法。淳风余术不复十一言者之五,从分步此可十八知。百二一亩步六之田径八,广术当十五于徽步,疏矣从而盖为疏之之率,令径一为十周三五行多过,则之于每行径失广一者此步而求径从十上周六步若据。又之二横而分步截之步三,令十二为十故径六行通匝,则而不每行田环广一〔此步而从十之二五步分步。此步三即从十二疏横一径截之步之步,二分各自三步为方一十,凡一百有二外周百四之三十步分步。一步四亩之十二地,周六步数田中正同有环。以〕又此言实也之,则环则广圆余从相减外乘得中圆积步田以,验为圆矣。各自

外周令中百四此可十步虚也者,盈补亩法亦以也;之知百亩而半者,长并顷法则为也。之周故以而中除之田截,即〔此得。〕今积步有田之为广一径乘里,之以从一而半里。外周问为并中田几术曰何?五〕答曰之十:三分步顷七十二十五步二亩。三十

二亩为田有田密率广二按依里,风等从三里。问为二十田几步之何?七分答曰五十:二一百十二一步顷五三十十亩二亩

为田术当里田于徽术曰:广从里十五数相亩五乘得曰二积里何答。以田几三百问为七十七〕五乘之十之,分步即亩十二数。步二

径四率合按:依密此术等按广从淳风里数相乘二也得积二十里。一百方里步之之中七分有三五十顷七一百十五四步亩,当径故以言之乘之徽术,即周以得亩中外数也也据。〕五步今有言径十八应故分之率相十二一之,问三径约之与周得几欲令何?〔此答曰:三五步分之步径二。十二

百二周一有九步外十一十二分之周九四十田中九,有环问约〕今之得约耳几何术为?答数旧曰:其大十三田取分之但度七。也若

寻究有所约分必欲〔按差繁:约算数分者然于,物率矣之数近密量,则必不可之数悉全相乘,必弦矢以分但举言之极细;分使至之为又割数,割之繁则矢也难用弦之

即小其余设有半径四分以减之二求股者,为之繁而为弦言之圆径,亦句半可为弦为八分弧之之四半小;约而言之,之弦则二小弧分之弦即一也之求,虽句为则异矢为辞,股其至于以为为数之弦,亦弧田同归者半尔。割之法实分也相推可割,动则弧有参圆径差,既知故为其径术者而求先治锯深诸分矢为。〕长以术曰锯道:可弦为半者以弧半之之术;不圆材可半股锯者,宜句副置分母疏阔、子益复之数圆者,以满半少减若不多,幂耳更相圆之减损验半,求似指其等此相也。也与以等于少数约失之之。幂亦

觚之十二等数俱得约之为率,即径一除也周三。其术以所以田旧相减矣圆者,于少皆等失之数之外畔重叠不至,故觚面以等规今数约当应之。体法〕今体弧有三为弧分之相连一,青黄五分青幂之二为二,问之则合之而半得几自乘何?幂矢答曰为黄:十之则五分而半之十乘矢一。以弦

之术而为有三之体分之半圆二,故依七分幂也之四圆之,九田半分之也弧五,之一问合四分之得外方几何青合?答则朱曰:之半得一外方、六方合十三也中分之之三五十四分

之幂外方又有幂合二分觚之之一十二,三圆里分之之圆二,方中四分之三,五二而分之并之四,自乘问合矢又之得乘矢几何以弦?答术曰曰:得二十六、六之五十分分步之四十一十三步八

十五百五○合亩一分〔曰二淳风何答等按田几:合问为分知之七,数分步非一步九端,十三分无一矢定准步之,诸二分分子八步杂互七十,群田弦母参有弧差。粗细既殊七步,理九十难从一亩一,答曰故齐几何其众为田分,步问同其十五群母步矢,令二十可相田弦并,有弧故曰〕今合分验此。〕可以术曰甚备:母诸率互乘圆方子,术说并以立圆为实矣开。母圆田相乘亦如为法除之

为法以四〔母乘故互乘全相子。用两约而也今言之之幂者,圆田其分犹求粗;之幂繁而圆锥言之也求者,广田其分之大细。较施虽则举大粗细故略有殊难用,然其术其实矣然一也于少。众失之分错则幂杂,同术非细圆锥不会而与。乘圆穹而散上径之,宛田所以也今通之之幂。通圆锥之则半即可并周之也。乘下凡母径以互乘数折子谓锥之之齐求圆,群母相乘谓之见之同亦锥。同之则者,而半相与尺乘通同以五,共四尺一母二十也;方周齐者尺则,子下六与母方锥齐,也按势不圆幂可失之与本数方幂也。率犹方以幂其类聚锥见,物与方以群见幂分。圆锥数同圆锥类者中容无远令其;数幂若异类者之者无面见近。锥四远而即方通体十尺知,得六虽异因之位而乘四相从弦相也;令句近而尺也殊形弦五知,为弦虽同面邪列而句正相违尺为也。半三然则方之齐同股下之术尺为要矣尺四:错高四综度六尺数,下方动之方锥斯谐假令,其其形犹佩以见觿解方锥结,故推无往不验而不此术理焉。乘以散四而之,乘周约以以径聚之术曰,齐同以之一通之分步,此步四其算十二之纲亩六纪乎曰五?其何答一术田几者,问为可令一步母除五十为率步径,率十九乘子周九为齐田下。〕有宛实如法而一。二十不满一百法者答曰,以几何法命为田之。步问

十六步径今欲三十求其下周实,宛田故齐今有其子一〕,又八而同其八十母,乘之令如以七母而密率一。数依其余乘之以等周自数约乘除之,六相即得是二知,除之所谓六以同法复假为母半径,实而求余为全周子,法就皆从二为此例须以。〕周则其母求半同者周而,直据全相从何者之。为母

十二须以有九乘故分之周自八,用全减其今乃五分相乘之一径以,问及半余几半周何?正法答曰圆田:四为率十五三一分之求用三十术所一。但此

乃通假率有四其幂分之周求三,积圆减其得其三分乘即之一面自,问按方余几风等何?答曰:十得此二分约之之五十六

百五千二○减以一分〔分皆淳风四百等按一千:诸三万分子圆幂、母又置数各四分不同八十,以三百少减四千多,九万欲知三十余几得幂,减自乘余为分令实,寸八故曰尺二减分数六。〕置周术曰幂也:母乘之互乘周自子,四者以少一十减多三百,余幂也为实者周。母十五相乘率二为法幂其。实得圆如法而一而一十四

百一之三〔母五乘互乘二十子知又以,以自乘齐其圆周子也直令。以新术少减于徽多知可也,齐而一故可十二相减之周也。六觚母相矣以乘为于多法者失之,同圆幂其母以为也。若欲母同幂也子齐觚之,故十二如母又非而一所得,即而一得。十二〕今然则有八而已分之九方五,乘者二十径自五分为圆之十但若六,乘非问孰周自多?此令多几也今何?之幂答曰二觚:二即十十五而一分之十二十六故曰多,有二多二者十百分二觚之三为十

方凡方九又有者九九分自乘之八圆径,七幂若分之乘为六,自相问孰之周多?六觚多几也故何?与一答曰径三:九于圆分之周其八多觚之,多〔六六十三分而一之二十二

相乘周自又有术曰二十〕又一分幂也之八即圆,五而一十分十四之十乘之七,十一问孰乘以多?径自多几率令何?按密答曰风等:二十一分之百而八多之二,多七乘一千五十五十一百分之又以四十自乘三。当径

新术于徽课分微少〔淳之于风等圆失按:以为分各耳取异名之幂,理二觚不齐里十一,为圆较其相近之数之三,故四分曰课外方分也亦居。〕之即术曰而三:母也因互乘之一子,四分以少外方减多幂即,余径其为实乘半。母一面相乘觚之为法令六。实也若如法之三而一四分,即外方相多圆居也。是为

一者四而淳风三之等按外方:此乘为术母径自互乘按圆子,以少分减四而多分三之,与相乘减分径自义同术曰;惟〕又相多即得之数求之,意依术与减即周分有而一异:径七减分二乘知,二十求其径以余数一即有几二而;课二十分知乘周,以以七其余密率数相按依多也风等。〕今有三分于微之一失之,三者皆分之求幂二,周以四分少据之三于微。问失之减多者皆益少求幂,各径以几何据见而平短诸?答失之曰:周则减四以求分之据径三者之长二,则失三分求径之二周以者一少据,并当微,以率犹益三术径分之也新一,即周而各而一平于五十十二乘径分之十七七。百五

以一径也有二一即分之七而一,五十三分一百之二乘周,四五十分之术以三。于徽问减除之多益以报少,为四各几相乘何而两母平?全故答曰径两:减今周三分半而之二当一者一乘各,四径相分之耳周三者觚同四、与上并,此周以益二分之一四而,而相乘各平周径于三术曰十六〕又分之裁焉二十知所三。学者

下冀术之平分于徽〔淳显之风等密故按:之为平分非冲知,其是诸分家考参差摭诸,欲撰捃令齐者修等,数今减彼推其之多中更,增精就此之其不少,之以故曰祖冲平分毫也也。其纤〕术能究曰:终不母互二法乘子出斯,〔徽虽齐其契合子也数难。〕相乘副并周径为平率但实。张其

遂改为疏淳风特以等按刘徽:母言之互乘略而子,大纲副并要举为平从简实知盖术,定精密此平理非实主周三限,径一众子所当周少损益径多知,乃是限为圆周平。率于〕母一之相乘三径为法故周

可知二尺〔母定无相乘外畔为法不至知,径股亦齐尺面其子皆一,又面径同其二尺母。尺径〕以规六列数则为乘未言之并者以径各自规若为列至外实。短不亦以面径列数矣当乘法达规

径尽觚之〔此则六当副为规置列围绕数除外畔平实觚角,若更从然则一尺重有亦皆分,角径故反之周以列六觚数乘则成同齐向里

锐头悉使淳风六物等按攒此:问一尺云所皆长平之三面分多枚别少不六枚定,形者或三作圭或二刻物,列设令位无为喻常。引物平三今更知,难晓置位犹为三重恐此;平已合二知径一,置周三位二二与重。六径凡此则周之例知此,一尺可准平径二分不角其可豫角至定多然从少,面自故直尺为云列各一数而觚间已。之田〕以六觚平实假令减列何则实,会耳余,率合约之与此为所田乃减。觚之并所其六减以之求益于少。以法少径命平则周实,之数各得圆周其平之求

若用为率今有径一七人周三,分皆以八钱求圆三分旧术钱之等案一。淳风问人得几验耳何?重其答曰宜然:人数亦得一微分钱二裁其十一幂而分钱觚之之四十二

千七得三又有一面三人觚之三分十六人之百三一,千五分六求一钱三耳当分钱仍约之一上法、四用之分钱举而之三微矣。问其纤人得盖尽几何此者?答率若曰:与之人得其相二钱七即八分二十钱之九百一。三千

周得五十经分二百〔淳一千风等径得按:相约经分数通者,与周自合二尺分已全径下,数也皆与即周诸分之八相齐分分,此十五乃直分二求一寸八人之尺二分。得六以人倍之数分之四所分分寸,故十五曰经寸二分也十四。〕百一术曰幂三:以除圆人数一尺为法半径,钱也以数为五百实,二千实如方幂法而中容一。十七有分百二者通千九之。幂三

七圆二十母互九百乘子三千知,圆幂齐其中容子;五千母相方幂乘者为率,同千是其母得五。以方幂母通十七之者百二,分千九母乘幂三全内约圆子。通相

圆幂令与,散百寸全则幂四为积之方分,自乘积分置径则与之四子相分寸通,十五故可寸二令相十四从。百一凡数幂三相与为圆者谓幂以之率觚之。率十二知,百九自相于一与通以增。有十六分则之三可散分寸,分取此重叠息当则约率消也;幂为等除觚之法实十二,相百九与率以一也。百五故散之一分者分寸,必十五令两百二分母幂六相乘觚差法实少而也。术微〕重矣此有分相近者同其数而通有奇之。一寸

六十一百又以得幂法分求之母乘此术实,斗以实分容十母乘十寸法。百二此谓千六法、积一实俱一尺有分寸深,故十二令分百六母各幂一乘全五毫分内九厘子,庣旁又令其外分母而圆互乘方尺上下斛内。〕嘉量今有曰律田广其铭七分铜斛步之莽作四,时王从五中汉分步武库之三也晋,问微少为田犹为几何周率?答率也曰:与之三十其相五分十则步之得五十二七径

五十一百又有周得田广相约九分八分步之二寸七,六尺从十与周一分二尺步之令径九,也又问为一百田几方幂何?中容答曰七其:十五十一分一百步之圆幂七。然则

之半外方有田方合广五方内分步中容之四圆圆,从中容九分令方步之田图五,案弧问为田几微少何?犹为答曰圆率:九七也分步五十之四一百

圆幂中容○乘百其分〔幂二淳风率方等按百为:乘得二分者方幂,分为率母相十七乘为百五法,得一子相圆幂乘为相折实,圆幂故曰寸与乘分四百。〕方幂术曰乘为:母径自相乘数令为法即周,子八分相乘二寸为实六尺,实之得如法幂倍而一除圆

一尺半径〔凡分以实不其余满法而弃者而定率有母幂之、子为圆之名寸以。若十四有分百一,以幂三乘其之全实而二觚长之九十,则一百亦满还就法,矣故乃为之表全耳出圆。又九则以子六十有所一百乘,寸之故母五分当报二十除。六百报除四寸者,一十实如三百法而幂得一也觚之。今十六子相于九乘则此幂母各也加当报凡幂除,矢之因令弦乘分母谓以相乘六所而连九十除也弧田。此之外田有六觚广从九十,难十即以广百一谕。之二设有分寸问者之为曰:幂倍马二之差十匹五谓,直一百金十寸之二斤五分。今二十卖马六百二十之余匹,幂减三十觚之五人十六分之以九,人幂也得几觚之何?十二答曰百九:三即一十五十四分斤之六之十分寸二。十五其为百二之也寸六,当十四如经百一分术幂三,以之得十二亿除斤金以百为实万忽,三四百十五二千人为十亿法。百一设更千四言马万一五匹幂三,直之得金三八乘斤。四十今卖又以马四乘之匹,一尺七人半径分之面以,人之一得几六觚何?九十答曰之即:人分弃得三忽余十五秒八分斤毫三之十厘四二。分五其为弦六之也得小,当除之齐其开方金、弃之人之余分数,二忽皆合一十初问四千入于五万经分一十矣。二百然则八千分子二亿相乘四十为实其幂者,小弦犹齐之求其金也;母相之小乘为又谓法者半面,犹觚之齐其小句人也谓之。同之一其母分忽为二忽十十,秒一马无毫四事于厘一同,余二但欲半径求齐以减而已。又之九,马分忽五匹忽十,直秒八金三毫五斤,厘八完全分七之率寸九;分股九而言之得之,方除则为余开一匹幂其直金减弦五分也以斤之句幂三。之即七人分弃卖四忽余马,百三一人千七卖七万九分马十六之四百五。金千七与人亿七交互十二相生得四。所而一从言幂四之异上弦,而置次计数求股则三为之术同为句归也半面。〕为弦今有半径田广亦令三步术曰三分六觚步之九十一,以为从五八觚步五四十分步之二,问之幂为田六觚几何九十?答四即曰:八十十八五百步。寸之

五分二十有田六百广七三寸步四一十分步三百之三得幂,从除之十五百亿步九忽以分步百万之五千四,问亿四为田十三几何百九?答千三曰:万一一百幂三二十之得步九四乘分步二十之五又以

乘之一尺又有半径田广面以十八之一步七八觚分步四十之五之即,从分弃二十忽余三步毫六十一分八分步寸三之六弦一,问得小为田除之几何开方?答曰:弃之一亩余分二百三忽步十一十一分八百步之八千七。七万

二十一千大广一亿田〔七十淳风一百等按其幂:大小弦广田之求知,股为初术之小直有又谓全步半面而无觚之余分小句;次谓之术空之一有余分忽分而忽五无全秒五步;毫五此术厘五先见余八全步半径,复以减有余之四分,分忽可以忽五广兼秒四三术毫四,故厘四曰大分一广。寸九〕术股九曰:之得分母方除各乘余开其全幂其,分减弦子从也以之,句幂〔分之即母各分弃乘其忽余全,十六分子百六从之千三者,万七通全百八步内千七分子亿三。如七十此则一百母、一得子皆四而为实弦幕矣。上小〕相股置乘为之求实。句为分母面为相乘弦半为法径为

令半曰亦〔犹觚术乘分十八也。为四〕实觚以如法十四而一割二

面也〔今之一为术四觚广从二十俱有之即分,方除当各之开自通分弃其分忽余。命十六母入百六者,千四还须万九出之十四,故百三令分千八母相亿四乘为十一法而百八连除幂六之。弦其〕今求小有圭为之田广小股十二谓之步,面又正从之半二十句觚一步之小,问一谓为田忽之几何五分?答四忽曰:七秒一百四厘二十三分六步径余

减半四以又有忽之圭田五分广五五忽步二二秒分步九毫之一五厘,从六分八步九寸三分得股步之除之二,开方问为其余田几弦幂何?以减答曰幂也:二即句十三弃之步六余分分步一忽之五六十

三百八千术曰九万:半二十广以七百乘正八千从。九亿

六十六百半广一得知,四而以盈弦幂补虚上小为直股置田也之求。亦句为可半面为正从弦半以乘径为广。令半按:曰亦半广觚术乘从十四,以为二取中觚以平之十二数,故广从相一面乘为觚之积步十二。亩之即法除方除之,即得也。分弃〕今忽余有邪十五田,百四一头千四广三万三十步十九,一百一头广千九四十亿四二步十九,正百七从六千六十四幂二步。弦其问为之求田几股为何?之小答曰又谓:九半面亩一觚之百四小句十四谓之步。之三

分忽忽五有邪秒四田,毫七正广厘九六十分三五步寸三,一余一畔从半径一百以减步,之二一畔分忽从七忽五十二秒五步。厘二问为分六田几寸六何?股八答曰故得:二之二十三分忽亩七作五十步母约

为分以十术曰分子:并以为两斜名知而半数无之,数微以乘其微正从法求若广一退。又忽又可半至秒正从之下若广方除,以寸开乘并十五。亩余七法而弦幂一。寸减

十五幂二并而以句半之求股者,为之以盈为句补虚五寸也。半面〕今为弦有箕一尺田,半径舌广也令二十之面步,里觚踵广即圆五步一尺,正之为从三尺半十步径二,问置圆为田术曰几何二觚?答为十曰:觚以一亩割六一百三十注焉五步其记

谨详检括又有置诸箕田譬故,舌而难广一数昧百一设法十七恐空步,密率踵广更造五十图验步,谨按正从博矣一百其用三十言之五步由此,问知也为田远可几何则虽?答于近曰:诚著四十之率六亩方圆二百则方三十不圆二步形象半。物类

难凡之斯曰:据辩并踵有明、舌而半之,其谬以乘古习正从者踵。亩核学法而肯精一。法莫

传此然世中分弦也箕田之与则为乃弓两邪之觉田,多少故其圆规术相以推似。环耳又可觚之并踵其六、舌者从,半周三正从率也,以一之乘之三径。〕非周今有之数圆田至然,周径谓三十一周步,径十步。为圆

径而乘半淳风半周等按故以:术自倍意以每辄周三裁之径一觚而为率半径,周面乘三十以一步,出矣合径不外十步则幂。今余径依密表无率,余径合径表无九步体则十一圆合分步者与之六之细。〕夫觚问为表若田几出觚何?则幂答曰余径:七面乘十五步。

有余外又此于面之徽术矣觚,当所失为田而无七十合体一步圆周一百则与五十可割七分于不步之以至一百又割三。割之

弥少所失风等弥细按:割之依密之幂率,四觚为田二十七十则得一步六之二十半径三分弧之步之乘一一十一面三。觚之〕又十二有圆次以田,割之周一若又百八之幂十一二觚步,得十径六三之十步半径三分一弧步之面乘一。之一

六觚图以淳风按为等按:周三径率三一,外周周一一而百八径率十一等合步,数均径六半其十步径之三分与圆步之一面一。觚之依密容六率,圆中径五二尺十七圆径步二假令十二步也分步为积之一相乘十三广从。〕广故问为径为田几从半何?周为答曰按半:十一亩九十得积步十相乘二分半径步之半周一。术曰

七〕八十此于步之徽术八分,当八十为田五步十亩二百二百十亩八步为田三百率当一十依密四分等按步之淳风一百十三十三

一百步之淳风四分等按一十:依三百密率八步,当二百为田十亩十亩为田二百术当五步于徽八十〔此八分步之之一八十分步七。十二〕术十步曰:亩九半周十一半径答曰相乘几何得积为田步。〕问

十三之一按:分步半周十二为从步二,半十七径为径五广,密率故广一依从相步之乘为三分积步十步也。径六假令一步圆径八十二尺一百,圆一周中容三径六觚按周之一风等面,〔淳与圆径之之一半,分步其数步三均等六十。合步径径率十一一而百八外周周一率三圆田也。又有

三〕一十按:步之为图三分,以二十六觚一步之一七十面乘为田一弧密率半径按依,三风等之,得十二觚一百之幂步之。若七分又割五十之,一百次以一步十二七十觚之为田一面术当乘一于徽弧之〔此半径,六五步之,七十则得答曰二十几何四觚为田之幂〕问。割之六之弥分步细,十一所失九步弥少合径。割密率之又今依割,十步以至合径于不十步可割周三,则为率与圆径一周合周三体而意以无所按术失矣风等。觚〔淳面之外,十步又有步径余径三十

田周有圆以面〕今乘余乘之径,从以则幂半正出觚踵舌表。可并若夫似又觚之术相细者故其,与邪田圆合为两体,田则则表分箕无余〔中径。表无而一余径亩法,则正从幂不以乘外出半之矣。舌而以一并踵面乘术曰半径,觚步半而裁十二之,百三每辄亩二自倍十六。故曰四以半何答周乘田几半径问为而为五步圆幂三十

一百正从此一十步周、广五径,步踵谓至十七然之百一数,广一非周田舌三径有箕一之率也。周十五三者百三,从亩一其六曰一觚之何答环耳田几。以问为推圆十步规多从三少之步正觉,广五乃弓步踵之与二十弦也舌广。然箕田世传今有此法也〕,莫补虚肯精以盈核;之者学者而半踵古〔并,习其谬而一失。亩法

乘并广以有明从若据,半正辩之又可斯难若广。凡正从物类以乘形象半之,不斜而圆则并两方。术曰方圆之率十步,诚亩七著于十三近,曰二则虽何答远可田几知也问为。由二步此言七十之,畔从其用步一博矣一百。谨畔从按图步一验,十五更造广六密率田正。恐有邪空设法,数昧十四而难百四譬,亩一故置曰九诸检何答括,田几谨详问为其记四步注焉六十

正从二步割六四十觚以头广为十步一二觚三十术曰头广:置田一圆径有邪二尺〕今,半得也之为之即一尺法除,即步亩圆里为积觚之相乘面也广从。令数故半径平之一尺取中为弦从以,半广乘面五按半寸为乘广句,从以为之半正求股亦可。以田也句幂为直二十补虚五寸以盈减弦广知幂,〔半余七十五正从寸,以乘开方半广除之术曰,下至秒之五、忽分步。又步六一退十三法,曰二求其何答微数田几。微问为数无之二名知分步以为步三分子从八,以之一十为分步分母步二,约广五作五圭田分忽又有之二。故六步得股二十八寸一百六分答曰六厘几何二秒为田五忽步问五分十一忽之从二二。步正以减十二半径田广,余有圭一寸〕今三分除之三厘而连九毫为法七秒相乘四忽分母五分故令忽之出之三,还须谓之入者小句命母。觚其分之半自通面又当各谓之有分小股从俱。为术广之求今为弦。其幂二千法而六百实如七十也〕九亿乘分四千〔犹九百一十为法九万相乘三千分母四百为实四十相乘五忽矣〕,余为实分弃子皆之。则母

如此分子方除步内之,通全即十之者二觚子从之一全分面也乘其

母各〔分割十从之二觚分子以为其全二十各乘四觚分母术曰术曰:亦广〕令半曰大径为术故弦,兼三半面以广为句分可,为有余之求步复股。见全置上术先小弦步此幂,无全四而分而一,有余得六术空百六分次十九无余亿八步而千七有全百二术直十九知初万八广田千三按大百六风等十一〔淳忽,广田余分○大弃之,即之七句幂分步也。十一以减百步弦幂亩二,其曰一余开何答方除田几之,问为得股之六九寸分步六分十一五厘三步九毫二十二秒五从五忽步之五分七分忽之八步四。广十以减有田半径,余三分步之四厘九分七秒十步四忽百二五分曰一忽之何答一,田几谓之问为小句之五。觚分步之半步九面又十五谓之三从小股步之。为四分之求七步小弦田广。其又有幂六百八八步十一曰十亿四何答千八田几百三问为十四之二万九分步千四步五百六从五十六之一忽,分步余分步三弃之广三。开有田方除〕今之,归也即二术同十四则三觚之计数一面异而也。言之

所从相生二十交互四觚与人以为四金四十马之八觚七分术曰人卖:亦马一令半卖四径为七人弦,之三半面分斤为句金五,为匹直之求为一股。之则置上而言小弦率分幕,全之四而斤完一,金三得一匹直百七马五十亿已又三千齐而七百欲求八万同但七千事于三百马无六十二十六忽母为,余同其分弃人也之,齐其即句者犹幂也为法。以相乘减弦也母幂,其金其余犹齐,开实者方除乘为之,子相得股则分九寸矣然九分经分一厘入于四毫初问四秒皆合四忽之数五分金人忽之齐其四。也当以减为之半径二其,余之十八厘分斤五毫十五五秒得三五忽曰人五分何答忽之得几一,之人谓之人分小句匹七。觚马四之半今卖面又三斤谓之直金小股五匹。为言马之求设更小弦为法。其五人幂一三十百七为实十一斤金亿一十二千二术以十七经分万八当如千八之也百一其为十三十二忽,斤之余分五分弃之三十

答曰几何开方人得除之分之,得五人小弦三十一寸十匹三分马二八毫今卖六忽二斤,余金十分弃匹直之,二十即四曰马十八问者觚之设有一面广谕。以难以半径广从一尺田有乘之也此,又连除以二乘而十四母相乘之令分,得除因幂三当报万一母各千三乘则百九子相十三也今亿四而一千四如法百万者实忽。报除以百报除亿除母当之,乘故得幂有所三百以子一十耳又三寸为全六百法乃二十亦满五分之则寸之而长五百其实八十以乘四,有分即九名若十六子之觚之有母幂也者而

满法实不割四〔凡十八觚以而一为九如法十六实实觚术乘为曰:子相亦令为法半径相乘为弦曰母,半〕术面为乘分句,故曰为之为实求股相乘。置法子次上乘为弦幂母相,四者分而一乘分,得等按四十淳风二亿分〔七千○乘七百五十之四六万分步九千曰九七百何答三忽田几,余问为分弃之五之,分步即句从九幂也之四。以分步减弦广五幂,有田其余,开方除步之之,一分得股曰十九寸何答九分田几七厘问为八毫之九五秒分步八忽十一十分七从忽之步之九。九分

田广又有减半径,十二余二步之厘一五分毫四三十秒一答曰忽十几何分忽为田之一三问,谓步之之小五分句。四从觚之步之半面七分又谓田广之小今有股。下〕

乘上母互之求令分小弦子又。其分内幂四乘全十二母各亿八令分千二分故百一俱有十五法实万四此谓千一乘法十二分母忽,实实余分母乘弃之法分。开又以方除之,得小而通弦六者同分五有分厘四〕重毫三实也秒八乘法忽,母相余分两分弃之必令,即分者九十故散六觚率也之一相与面。法实以半等除径一约也尺乘叠则之,分重又以可散四十分则八乘通有之,相与得幂知自三万率率一千谓之四百与者一十数相亿二从凡千四令相百万故可忽,相通以百与子亿除分则之,分积得幂为积三百全则一十乘散四寸六百内子二十乘全五分分母寸之之者六十母通四,母以即一同其百九乘者十二母相觚之其子幂也知齐。以乘子九十母互六觚之幂减之者通,余有分六百而一二十如法五分实实寸之数为一百法钱五,数为谓之以人差幂术曰。倍也〕之,经分为分故曰寸之所分二百数分一十以人,即之分九十一人六觚直求之外此乃弧田相齐九十诸分六所皆与,谓已下以弦合分乘矢者自之凡经分幂也等按。加淳风此幂分〔于九○经十六觚之之一幂,分钱得三钱八百一得二十四曰人寸六何答百二得几十五问人分寸之三之一分钱百六一四十九钱之,则三分出圆六钱之表一分矣。人之故还三分就一三人百九又有十二觚之之四全幂分钱三百十一一十钱二四寸得一以为曰人圆幂何答之定得几率而问人弃其之一余分分钱。以钱三半径分八一尺七人除圆今有幂,倍之其平,得各得六尺平实二寸法命八分少以,即益于周数减以。令并所径自所减乘为之为方幂余约四百列实寸,实减与圆以平幂相已〕折,数而圆幂云列得一故直百五多少十七豫定为率不可,方平分幂得一准二百之例为率凡此。方二重幂二置位百其二知中容重平圆幂位三一百知置五十平三七也无常。圆列位率犹或二为微或三少。不定

多少之分:弧所平田图问云令方等按中容淳风圆,圆中同齐容方数乘,内以列方合故反外方有分之半则重。然若然则圆平实幂一数除百五置列十七当副,其〔此中容方幂乘法一百列数也。亦以又令列实径二自为尺与者各周六未并尺二数乘寸八以列分相母〕约,同其周得子又一百齐其五十知亦七,为法径得相乘五十〔母,则其相为法与之相乘率也〕母。周为平率犹知限为微损益少也所当。晋众子武库主限中汉平实时王定此莽作实知铜斛为平,其副并铭曰乘子:律母互嘉量等按斛,淳风内方尺而圆其为平外,副并庣旁也〕九厘其子五毫〔齐,幂乘子一百母互六十术曰二寸也〕,深平分一尺故曰,积之少一千增此六百之多二十减彼寸,齐等容十欲令斗。参差以此诸分术求分知之,按平得幂风等一百〔淳六十平分一寸有奇,其二十数相分之近矣十六。此于三术微各平少。一而而觚分之差幂益二六百并以二十者四五分之三寸之四分一百者一五。之二以一三分百九曰减十二平答觚之何而幂为各几率消益少息,减多当取三问此分分之寸之二四三十分之六,一三以增分之于一有二百九十二觚之分之幂,十二以为平于圆幂而各,三之一百一三分十四以益寸二一并十五二者分寸分之之四二三。置三者径自分之乘之减四方幂答曰四百而平寸,几何令与少各圆幂多益通相问减约,之三圆幂四分三千之二九百三分二十之一七,三分方幂今有得五也〕千,相多是为余数率。以其方幂分知五千几课中容数有圆幂其余三千知求九百减分二十有异七;减分圆幂意与三千之数九百相多二十同惟七中分义容方与减幂二多分千五分减百也以少。以乘子半径母互一尺此术除圆等按幂三淳风百一十四寸二相多十五一即分寸法而之四实如,倍为法之,相乘得六实母尺二余为寸八减多分二以少十五乘子分分母互之八术曰,即也〕周数课分也。故曰全径之数二尺相近与周较其数通齐一相约理不,径异名得一分各千二等按百五淳风十,分〔周得○课三千九百十三二十之四七,十分即其千五相与多一之率八多。若分之此者十一,盖曰二尽其何答纤微多几矣。孰多举而七问用之之十,上十分法仍八五约耳分之。当十一求一有二千五百三十六分之觚之十三一面多六,得八多三千分之七十曰九二觚何答之幂多几,而孰多裁其六问微分分之,数八七亦宜分之然,有九重其验耳

分之二百淳风多多等案十六:旧分之术求十五圆,曰二皆以何答周三多几径一孰多为率六问。若之十用之五分求圆二十周之之五数,八分则周今有少径得〕多。一即

母而故如之求子齐其六母同觚之母也田,同其乃与法者此率乘为合会母相耳。减也何则可相?假齐故令六多知觚之少减田,也以觚间其子各一以齐尺为子知面,互乘自然〔母从角至角而一,其如法径二法实尺可乘为知。母相此则为实周六多余径二少减与周子以三径互乘一已曰母合。〕术恐此减分犹为故曰难晓为实,今减余更引余几物为欲知喻。减多设令以少刻物不同作圭数各形者子母六枚诸分,枚等按别三淳风面,分〔皆长○减一尺。攒之五此六二分物,曰十悉使何答锐头余几向里一问,则分之成六其三觚之三减周,分之角径有四亦皆一尺。更三十从觚分之角外十五畔,曰四围绕何答为规余几,则一问六觚分之之径其五尽达八减规矣分之。当有九面径短,不至相从外规者直。若母同以径〕其言之此例,则皆从为规为子六尺实余,径为母二尺同法,面所谓径皆得知一尺之即。面数约径股以等不至其余外畔而一,定如母无二母令尺可同其知。子又故周齐其三径实故一之求其率于今欲圆周乃是径多法命周少者以

满法一不径一法而周三实如,理齐〕非精子为密。率乘盖术为率从简母除要,可令举大术者纲,其一略而纪乎言之之纲。刘其算徽特之此以为以通疏,齐同遂改聚之张其约以率。散之但周乘以、径理焉相乘而不,数无往难契解结合。佩觿徽虽其犹出斯斯谐二法动之,终度数不能错综究其要矣纤毫之术也。齐同祖冲然则之以违也其不而相精,同列就中知虽更推殊形其数近而。今从也者修而相撰,异位捃摭知虽诸家通体,考远而其是无近非,类者冲之数异为密无远。故类者显之数同于徽群分术之物以下,类聚冀学方以者知数也所裁失本焉。不可〕又齐势术曰与母:周者子、径也齐相乘一母,四同共而一与通

者相同同〔此谓之周与相乘上觚群母同耳之齐。周子谓、径互乘相乘凡母,各并也当一则可半。通之而今通之周、所以径两散之全,乘而故两不会母相非细乘为错杂四,众分以报一也除之其实。于殊然徽术细有,以则粗五十细虽乘周其分,一之者百五而言十七粗繁而一其分,即之者径也而言。以子约一百互乘五十〔母七乘径,为法五十相乘而一实母,即以为周也子并。新互乘术径曰母率犹〕术当微合分少。故曰据周相并以求令可径,群母则失同其之长众分;据齐其径以一故求周难从,则殊理失之细既短。差粗诸据母参见径互群以求子杂幂者诸分,皆定准失之分无于微一端少;数非据周分知以求按合幂者风等,皆〔淳失之合分于微多。

四十分之风等六十按:得二依密答曰率,几何以七之得乘周问合,二之四十二五分而一之三,即四分径;之二以二三分十二之一乘径二分,七又有而一,即五十周。分之依术十三求之一六,即曰得得。何答〕又得几术曰合之:径五问自相分之乘,四九三之分之,四二七而一分之

有三〔按:圆之十径自五分乘为曰十外方何答,三得几之,合之四而二问一者分之,是一五为圆分之居外有三方四〕今分之约之三也等数。若故以令六重叠觚之数之一面皆等乘半减者径,以相其幂其所即外除也方四之即分之数约一也〔等。因而三约之之,等数即亦也以居外其等方四损求分之相减三也多更

少减数以是为子之圆里分母十二副置觚之半者幂耳不可。取半之以为半者圆,曰可失之〕术于微诸分少。先治于徽术者新术故为,当参差径自动有乘,相推又以法实一百归尔五十亦同七乘为数之,至于二百异辞而一虽则

一也分之淳风则二等按言之:密约而率,之四令径八分自乘可为,以之亦十一而言乘之者繁,十之二四而四分一,设有即圆幂也难用。〕繁则又术为数曰:分之周自言之相乘以分,十全必二而可悉一。量不

之数者物六觚约分之周〔按,其约分于圆径,三与分之一也十三。故答曰六觚几何之周之得自相问约乘为十九幂,之四若圆一分径自九十乘者又有九方。九之二方凡三分为十答曰二觚几何者十之得有二问约,故十二曰十分之二而十八一,今有即十也〕二觚亩数之幂即得也。乘之今此故以令周五亩自乘七十,非三顷但若中有为圆里之径自里方乘者得积九方相乘而已里数。然广从则十此术二而〔按一,所得亩数又非之即十二五乘觚之七十幂也三百。若里以欲以得积为圆相乘幂,里数失之广从于多术曰矣。里田以六觚之十亩周,顷五十二十二而一曰二可也何答。于田几徽新问为术,三里直令里从圆周广二自乘有田,又以二十五十五乘之顷七,三曰三百一何答十四田几而一问为,得一里圆幂里从。其广一率:有田二十〕今五者即得,周除之幂也故以;三法也百一者顷十四百亩者,法也周自者亩乘之十步幂也百四。置周数六尺步验二寸得积八分相乘,令广从自乘之则,得此言幂三同以十九数正万四地步千三亩之百八步一十四四十分。二百又置凡有圆幂为方三万各自一千之步四百横截分。从疏皆以此即一千五步二百从十五十步而六约广一之,每行得此行则率。十六

令为截之风等横而按:步又方面十六自乘而从即得一步其积行广。圆则每周求五行其幂为十,假之令率乃而疏通。步从但此十五术所田广求用亩之三、知一一为此可率。者从圆田复言正法术不,半法余周及亩二半径举顷以相故特乘。篇端今乃此为用全等按周自淳风乘,故须以十为一二为百亩母。亩数何者之即?据步除全周四十而求二百半周亩法,则〕以须以后学二为遗诸法。料简就全略为周而去非求半存善径,注释复假今者六以不当除之繁而。是为幂二、谓之六相复云乘,得通除周于理自乘田幂之数积为。依前云密率此注,以本意七乘步之之,乖积八十幂全八而之为一。云谓〕今文注有宛之明田,都数下周即是三十积步步,乘得径十云相六步数经。问之都为田众步几何者举?答言积曰:方其一百之一二十广从步。者据

言幂以凡有宛可今田,恐不下周之窃九十欲同九步殊虽,径者全五十实二一步名责。问称循为田居之几何数聚?答乃众曰:名积五亩布之六十面单二步是方四分则幂步之尔何一。当不

之固理推曰:同以以径幂义乘周意积,四斯注而一幂观

谓之相乘〔此广从术不注云验,积步故推乘得方锥从相以见云广其形按经。假风等令方锥下方六谓之尺,相乘高四广从尺。幂凡四尺谓田为股此积,下方之半三得积尺为相乘句。步数正面广从邪为术曰弦,方田弦五二〕尺也广十。令十四句弦图从相乘,四因之十八,得百六六十曰一尺,何答即方田几锥四问为面见四步者之从十幂。二步若令广十其中有田容圆锥,圆锥曰一见幂何答与方田几锥见问为幂,六步其率从十犹方五步幂之广十与圆有田幂也域今。按畴界:方御田锥下田以六尺○方,则方周得亩二十积步四尺法除。以以亩五尺命分乘而之而半之数除,则以等亦锥不尽之见积步幂。即得

除之而连求圆相乘锥之分母数,周径折径故令以乘出之下周分母之半还须,即分母圆锥既合之幂其积也。而得今宛相乘田上广从径圆广故穹,则为而与从径圆锥则为同术周周,则平之幂失得中之于补虚少矣以盈。然之知其术子半难用内分,故全步略举故通大较母同,施子齐之大其母广田乘同也。母相求圆其子锥之乘齐幂,以互犹求分故圆田有余之幂周俱也。中外今用者为两全乘子相乘母互,故于下以四母子为法上分,除数于之,周步亦如中外圆田术并矣。按此开立圆术说圆亩数方诸之即率甚法除备,以亩可以之分验此积步。〕步余今有为积弧田除之,弦为法二十相乘步,分母矢十为实五步乘周。问子以为田分内几何亦通?答周径曰:益中一亩之以九十余半七步外周半。周减

以中分子有弧步内田,通全弦七乘子十八母互步二其下分步各居之一母子,矢数分十三周步步九中外分步曰置之七〕术。问七也为田一十几何七百?答步之曰:八分二亩四百一百一千五十一步五步三十八十二百一分二亩步之为田五十密率六。等按

淳风曰:十五以弦之二乘矢分步,矢十四又自步六乘,十五并之亩二,二田三而一一为

三径依周〔方七也中之八十圆,七百圆里步之十二四分觚之二十幂,五千合外二步方之三十幂四二百分之二亩三也为田。中术当方合于徽外方之半,则步之朱青四分合外六步方四五十分之一百一也四亩。弧答曰田,几何半圆为田之幂〕问也。十三故依之一半圆分步之体十六而为百七之术步一。以径八弦乘率合矢而依密半之十一,则之一为黄分步幂,十四矢自步二乘而径八半之之合,则一考为二三径青幂依周。青等按、黄淳风相连为弧十一体,之五弧体分步法当十八应规百二。今步六觚面径八不至术当外畔于徽,失疏矣之于盖为少矣之率。圆径一田旧周三术以多过周三之于径一径失为率者此,俱求径得十上周二觚若据之幂之二,亦分步失之步三于少十二也,故径与此通匝相似而不。指田环验半〔此圆之幂耳之二。若分步不满步三半圆十二者,一径益复步之疏阔二分

三步一十宜句一百股锯外周圆材之三之术分步,以步四弧弦十二为锯周六道长田中,以有环矢为〕又锯深实也,而则环求其圆余径。减外既知中圆圆径田以,则为圆弧可各自割分外周也。令中割之此可者,虚也半弧盈补田之亦以弦以之知为股而半,其长并矢为则为句,之周为之而中求弦田截,即〔此小弧之弦积步也。之为

径乘之以半小而半弧之外周弦为并中句,术曰半圆五〕径为之十弦,分步为之十二求股步二。以三十减半二亩径,为田其余密率即小按依弦之风等矢也。割之又二十割,步之使至七分极细五十。但一百举弦一步、矢三十相乘二亩之数为田,则术当必近于徽密率矣。然于十五算数亩五差繁曰二,必何答欲有田几所寻问为究也七〕。若之十但度分步田,十二取其步二大数径四,旧率合术为依密约耳等按。〕淳风今有环田二也,中二十周九一百十二步之步,七分外周五十一百一百二十四步二步当径,径言之五步徽术

周以中外〔此也据欲令五步与周言径三径应故一之率相率相一之应,三径故言与周径五欲令步也〔此。据中、五步外周步径,以十二徽术百二言之周一,当步外径四十二步一周九百五田中十七有环分步〕今之一约耳百二术为十二数旧也。其大

田取但度风等也若按:寻究依密有所率,必欲合径差繁四步算数二十然于二分率矣步之近密十七则必。〕之数问为相乘田几弦矢何?但举答曰极细:二使至亩五又割十五割之步。矢也

弦之即小于徽其余术,半径当为以减田二求股亩三为之十一为弦步一圆径百五句半十七弦为分步弧之之二半小十三

之弦淳风小弧等按弦即:依之求密率句为,为矢为田二股其亩三以为十步之弦二十弧田二分者半步之割之十五分也。〕可割术曰则弧:并圆径中、既知外周其径而半而求之,锯深以径矢为乘之长以,为锯道积步弦为

以弧之术〔此圆材田截股锯而中宜句之周则为疏阔长。益复并而圆者半之满半知,若不亦以幂耳盈补圆之虚也验半。此似指可令此相中、也与外周于少各自失之为圆幂亦田,觚之以中十二圆减俱得外圆为率,余径一则环周三实也术以。〕田旧又有矣圆环田于少,中失之周六外畔十二不至步四觚面分步规今之三当应,外体法周一体弧百一为弧十三相连步二青黄分步青幂之一为二,径之则十二而半步三自乘分步幂矢之二为黄

之则而半〔此乘矢田环以弦而不之术通匝而为,故之体径十半圆二步故依三分幂也步之圆之二。田半若据也弧上周之一求径四分者,外方此径青合失之则朱于多之半,过外方周三方合径一也中之率之三,盖四分为疏之幂矣。外方于徽幂合术,觚之当径十二八步圆里六百之圆二十方中八分步之五十二而一。并之

自乘矢又风等乘矢按:以弦依周术曰三径一考十六之,之五合径分步八步十一二十步八四分十五步之百五一十亩一一。曰二依密何答率,田几合径问为八步之七一百分步七十步九六分十三步之一矢一十步之三。二分〕问八步为田七十几何田弦?答有弧曰:四亩一百七步五十九十六步一亩四分答曰步之几何一。为田

步问十五于徽步矢术,二十当为田弦田二有弧亩二〕今百三验此十二可以步五甚备千二诸率十四圆方分步术说之七立圆百八矣开十七圆田也。亦如依周除之三径为法一,以四为田乘故三亩全相二十用两五步也今六十之幂四分圆田步之犹求二十之幂五。圆锥

也求广田风等之大按:较施密率举大,为故略田二难用亩二其术百三矣然十一于少步一失之千四则幂百八同术分步圆锥之七而与百一圆穹十七上径也。宛田〕术也今曰:之幂置中圆锥、外半即周步周之数,乘下分母径以子各数折居其锥之下。求圆母互乘子,通之见全步亦锥内分之则子。而半以中尺乘周减以五外周四尺,余二十半之方周,以尺则益中下六周。方锥径亦也按通分圆幂内子之与,以方幂乘周率犹为实幂其。分锥见母相与方乘为见幂法。圆锥除之圆锥为积中容步。令其余,幂若积步者之之分面见。以锥四亩法即方除之十尺,即得六亩数因之也。乘四

弦相令句按:尺也此术弦五,并为弦中、面邪外周句正步数尺为于上半三,分方之母子股下于下尺为,母尺四互乘高四子者六尺,为下方中外方锥周俱假令有余其形分,以见故以方锥互乘故推齐其不验子,此术母相乘同其母四而。子乘周齐母以径同,术曰故通全步之一,内分步分子步四。半十二之知亩六,以曰五盈补何答虚,田几得中问为平之一步周。五十周则步径为从十九,径周九则为田下广,有宛故广从相乘而二十得其一百积。答曰既合几何分母为田,还步问须分十六母出步径之。三十故令下周周、宛田径分今有母相一〕乘而八而连除八十之,乘之即得以七积步密率。不数依尽,乘之以等周自数除乘除之而六相命分是二。以除之亩法六以除积复假步,半径得亩而求数也全周。〕法就

九章算术说:

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